前言 本文学习过程来源是《矩阵分析与应用-张贤达》一书. 可以通过 z-lib 下载. 更加详细的内容可以跳转网址 https://zlearning.netlify.app/math/matrix/matrix-gradient.html 一、标量函数的共轭梯度公式 若 \(f(x) = c\) 为常数, 则共轭梯度 \(\frac{\partial c}{\partial x^*

前言 本文学习过程来源是《矩阵分析与应用-张贤达》一书. 可以通过 z-lib 下载. 一、采用 \(\mathrm{Givens}\) 旋转的 \(\mathrm{QR}\) 分解 \(\mathrm{Givens}\) 旋转也可以用来计算 \(\mathrm{QR}\) 分解. 这里以 \(4 \times 3\) 矩阵为例, 说明 \(\mathrm{Givens \ QR}\)

前言 本文学习过程来源是《矩阵分析与应用-张贤达》一书. 可以通过 z-lib 下载. 一、\(\mathrm{QR}\) 分解的性质 定理 1 ( \(\mathrm{QR}\) 分解 ): 若 \(A \in R^{m \times n}\), 且 \(m \ge n\), 则存在列正交的矩阵 \(Q \in R^{m \times m}\) 和上三角矩阵 \(R \in R^{m \

前言 本文学习过程来源是《矩阵分析与应用-张贤达》一书. 可以通过 z-lib 下载. 一、矩阵分解的分类 矩阵分解顾名思义就是通过线性变换把某个已知矩阵分解成多个矩阵, 这多个矩阵之间的关系是怎样的呢? 一般情况下分解为两个或者三个标准型矩阵的乘积. 个别情况是两个标准型矩阵之和. 这里提到的标准型矩阵就是若尔当标准型矩阵. 虽然在 《Introduction to Linear

前言 一、矩阵的直和 1. 直和定义 定义 1: \(m \times m\) 矩阵 \(A\) 与 \(n \times n\) 矩阵 \(B\) 的直和记作 \(A \oplus B\), 它是一个 \((m+n) \times (m+n)\) 的矩阵, 定义为 \[ A \oplus B = \begin{bmatrix} A& O_{m \times n}\\

前言 本文学习过程来源是《矩阵分析与应用-张贤达》一书. 可以通过 z-lib 下载. 一、非一致方程的最小范数最小二乘解 我们在之前广义逆矩阵一节中讲到了一致方程的最小范数解和非一致方程的最小二乘解. 但是我们要注意, 最小二乘解非唯一, 我们要在其中找到一个范数最小的解, 我们将其称为非一致方程的最小范数最小二乘解 ( minimun norm least squares solu

前言 本文学习过程来源是《矩阵分析与应用-张贤达》一书. 可以通过 z-lib 下载. \(Moore-Penrose\) 逆矩阵的计算 假设 \(A_{m \times n}\) 秩为 \(r\) , 且 \(r \leq \min(m,n)\) , 我们在此介绍矩阵 \(A^{\dagger}\) 求解的四种方法. 1. 方程求解法 首先求解矩阵方程 \[ \begin{ali